6174 (Kaprekar's Constant)

6174 dikenal sebagai konstanta Kaprekar diambil dari nama matematikawan India D. R. Kaprekar. Bilangan ini akan diperoleh jika kita mengikuti aturan aturan berikut:

1. Pilihlah empat digit angka dari 0 sampai 9, menggunakan setidaknya dua digit yang berbeda. (Angka Nol di depan diperbolehkan.)
2. Aturlah empat angka tersebut dengan mengurutkan dari angka terbesar ke angka terkecil dan dari angka terkecil ke angka terbesar sehingga didapatkan dua buah bilangan yang masing-masing terdiri dari 4 digit angka.
3. Kurangi bilangan yang besar dengan bilangan yang kecil.
4. Kembali ke langkah 2.

Proses di atas, dikenal sebagai routine (proses berulang) Kaprekar, selalu akan mencapai titik tetap atau kernel, 6174, dengan paling banyak 7 iterasi atau tujuh kali proses. Setelah 6174 tercapai, proses ini akan terus menghasilkan bilangan 6174 karena 7641-1467 = 6174..

CONTOH:

Misalnya, pilih empat digit angka 3524: maka kita urutkan dari angka yang terbesar yaitu 5 diikuti angka 4 lalu angka 3 dan 2 menjadi 5432. Kebalikannya adalah bilangan 2345. Jika kita kurangkan bilangan yang besar yaitu 5432 dengan bilangan yang kecil 2345 maka

5432 - 2345 = 3087 lalu kita ulangi proses mengurutkan bilangan ini dan mengurangkannya. menjadi
8730 - 0378 = 8352 ulangi lagi langkah 2
8532 - 2358 = 6174

Semua Empat-digit angka akan mencapai konstanta Kaprekar, 6174 kecuali empat angkanya sama semua, seperti 1111, yang memberikan hasil 0 setelah sebuah iterasi tunggal.

Contoh lain:
2111 - 1112 = 0999
9990 - 0999 = 8991 (bukan 9990-999)
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174

bilangan 9831 akan mencapai 6174 setelah 7 iterasi:

9831 - 1389 = 8442
8442 - 2448 = 5994
9954 - 4599 = 5355
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 0288 = 8532 (bukan 8820-288)
8532 - 2358 = 6174

8774, 8477, 8747, 7748, 7487, 7847, 7784, 4877, 4787, dan 4778 mencapai 6174 setelah 4 iterasi:

8774 - 4778 = 3996
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174

Perhatikan bahwa dalam setiap iterasi dari routine Kaprekar, hasil pengurangan dari dua buah bilangan, jika dijumlahkan tiap tiap digitnya akan selalu berjumlah kelipatan 9. Mari kita ambil dari contoh diatas:

3996 = 3 + 9+ 9+ 6 = 27 yang adalah kelipatan 9
6264 = 6 + 2+ 6+ 4 = 18
4179 = 4 + 1+ 7+ 6 = 18 dst

Oleh karena itu hasil dari masing-masing iterasi dari routine Kaprekar adalah kelipatan dari 9.

Untuk tiga digit maka konstantanya atau kernelnya atau titik tetapnya adalah bilangan 495.

Contoh:

981-189 = 792
972-279 = 693
963-369 = 594
954-459 = 495

Dapatkah anda mencari kernel atau titik tetap untuk lima atau enam digit?