Thursday, July 21, 2011

Golden Ratio & Fibonacci

BILANGAN FIBONACCI


Tentang Fibonacci
Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo of Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.

Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya di suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.





Fibonacci Numbers
Barisan bilangan, dimana tiap2 bilangannya adalah hasil jumlah dari dua bilangan sebelumnya dikenal sebagai Barisan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...

Perbandingan dari dua bilangan yang berurutan disebut golden section (GS) - 1.618033989 . . . . .

dan kebalikannya (1/GS) ~ 0.618033989 . . . . . jadi bisa kita tuliskan 1/GS = 1 + GS.



Segitiga Pascal dan bilangan Fibonacci

Segitiga ini diperkenalkan oleh B. Pascal, meskipun 500 tahun sebelumnya sudah digambarkan olehmatematikawan Cina Yanghui dan astronomiwan Persia Omar Khayyám pun sudah mengenalnya.

Pascal's Triangle dapat dituliskan dengan formula:

Penjumlahan angka pada tiap diagonal diatas menghasilkan bilangan-bilangan Fibonacci
Luarbiasanya bilangan fibonacci ini sering muncul di alam
Deret Fibonacci mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.


Masalah Kelinci Beranak Pinak
Dalam bukunya yang berjudul Liber Abaci, Kasus itu dijelaskan sebagai berikut:

Sepasang kelinci muda (jantan dan betina) ditempatkan di suatu pulau. Asumsikan bahwa kelinci tidak akan melahirkan sebelum berumur 2 bulan. Kemudian, setelah berumur 2 bulan, setiap pasang kelinci akan melahirkan sepasang kelinci setiap 1 bulan. Pertanyaannya: Berapa banyak pasang kelinci yang ada di sana setelah n bulan? (Kita juga menggunakan asumsi bahwa kelinci tidak akan pernah mati.)
Kita dapat mengilustrasikan masalah kelinci itu seperti tabel di bawah.

Asumsikan bahwa gambar 1 kelinci berarti 1 pasang kelinci.

Keterangan:
= kelinci muda
= kelinci 1 bulan
= kelinci berumur ≥ 2 bulan




Kasus kelinci saat itu belumlah menjadi perhatian yang yang menarik. Kemudian, pada abad ke-19, Edouard Lucas mendefinisikan kembali barisan tersebut, dan menamakan barisan tersebut sebagai barisan Fibonacci di mana setiap sukunya diberikan simbol
  
Barisan Fibonacci dapat didefinisikan kembali sebagai berikut:
. untuk
Note: kita juga dapat mendefinisikan .
Untuk selanjutnya, barisan Fibonacci ini muncul dalam berbagai macam aplikasi. Sebagai contoh, di dalam bidang pertanian, jumlah pola spiral yang muncul pada tanaman (sering disebut sebagai phyllotaxis) selalu merupakan pola barisan Fibonacci.

Fibonacci dan Alam
Tanaman tidak tahu tentang barisan ini - mereka hanya tumbuh dengan cara yang paling efisien. Banyak tanaman menunjukkan bilangan Fibonacci dalam susunan daun sekitar batang. Beberapa kerucut pinus dan kerucut cemara juga menunjukkan bilangan fibonacci, seperti halnya bunga aster dan bunga matahari. Bunga matahari dapat berisi bialangan 89, atau bahkan 144. Tanaman lainnya, seperti succulents, juga menunjukkan bilangan fibonacci. Beberapa pohon jenis konifera menunjukkan bilangan Fibonacci dalam benjolan di belalai mereka. Dan pohon-pohon palem menunjukkan bilangan ini di cincin belalai mereka.

Mengapa pengaturan ini terjadi? Dalam kasus pengaturan daun, atau phyllotaxis beberapa kasus mungkin berhubungan dengan memaksimalkan ruang untuk setiap daun, atau jumlah rata-rata cahaya yang jatuh pada masing-masing. Dalam daun kubis pengaturan yang benar mungkin menjadi sangat penting untuk ketersediaan ruang. Jadi alam tidak mencoba untuk menggunakan angka Fibonacci: mereka muncul sebagai hasil dari proses yang lebih fisik.Itulah mengapa spiral tidak sempurna.

Tanaman menanggapi kendala keadaan fisik, bukan aturan matematika.

Ide dasarnya adalah bahwa posisi dari setiap pertumbuhan baru adalah sekitar 222,5 derajat jauh dari sebelumnya karena menyediakan secara rata-rata ruang maksimum untuk semua tunas. Sudut ini disebut sudut emas dan membagi lingkaran 360 derajat lengkap dalam Golden Section 0,618033989....


Contoh Barisan Fibonacci pada Tumbuhan.
Kelopak pada Bunga
Mungkin sebagian besar dari kita tidak pernah meluangkan waktu untuk memeriksa dengan hati-hati jumlah atau susunan kelopak bunga. Jika kita melakukannya, kita akan menemukan bahwa jumlah kelopak pada bunga, (tentu saja yang masih memiliki semua kelopak yang utuh) pada banyak bunga adalah bilangan Fibonacci

  • 3 kelopak: lily, iris
  • 5 kelopak: buttercup, wild rose, larkspur, columbine (aquilegia)
  • 8 kelopak: delphiniums
  • 13 kelopak: ragwort, corn marigold, cineraria,
  • 21 kelopak: aster, black-eyed susan, chicory
  • 34 kelopak: plantain, pyrethrum
  • 55, 89 kelopak: michaelmas daisies, the asteraceae family

Beberapa spesies memiliki jumlah kelopak yang tepat tetapi yang lain memiliki kelopak bunga sangat dekat secara rata-rata dengan bilangan fibonacci





Satu Kelopak ...


 
ite calla lily





Bunga dengan dua kelopak sangat jarang



euphorbia








Tiga kelopak sering dijumpai




trillium






 Lima Kelopak - ada ratusan species, baik yang liar maupun yang budidaya






 

Delapan-Kelopak bunga tidak sebanyak seperti lima kelopak, tetapi ada beberapa spesies yang terkenal dengan delapan kelopak.

bloodroot

















Tigabelas ...



black-eyed susan






Duapuluh satu dan tigapuluh empat sangat sering dijumpai. Cincin luar dari family bunga ester sangat tepat menunjukkan bilangan fibonacci. Aster dengan 13, 21, 34, 55 dan 89 sangat banyak.

shasta daisy with 21 petals
Aster yang sering dijumpai memiliki 34 kelopak...
Namun tetap ada beberapa bunga aster yang menyimpang. dan 33 kelopak lebih umum dalam penyimpangan daripada 35 kelopak.






Angka Fibonacci memiliki satu sifat menarik. Jika Anda membagi satu angka dalam deret tersebut dengan angka sebelumnya, akan Anda dapatkan sebuah angka hasil pembagian yang besarnya sangat mendekati satu sama lain. Nyatanya, angka ini bernilai tetap setelah angka ke-13 dalam deret tersebut. Angka ini dikenal sebagai "golden ratio" atau "rasio emas".
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618



Golden Ratio & Golden Section
Dalam matematika dan seni, dua kuantitas/besaran disebut dalam rasio emas (Golden Ratio) jika rasio/perbandingan antara jumlah kedua kuantitas tersebut dengan kuantitas yang besar, sama dengan perbandingan antara kuantitas yang besar dengan kuantitas yang kecil


Secara aljabar dapat dituliskan:


Golden Ratio sering dituliskan dengan huruf Yunani phi (Φ or φ). Golden Rasio adalah bilangan irasional yang nilainya  adalah 1.6180339887498..... (dst). Angka dibelakang koma akan berlanjut terus tanpa pola. Golden Section menggambarkan hubungan geometris yang mendifinisikan nilai ini. 
 


Golden Rectangle
Golden rectangle adalah persegi panjang yang perbandingan sisi2nya membentuk perbandingan 1 berbanding golden ratio, 1: phi, atau 1 : 1.618.
Sebuah golden rectangle dapat dibuat dengan cara yang sederhana:
  1. Gambarlah sebuah persegi/bujursangkar
  2. Gambar sebuah garis dari titik tengah salah satu sisi persegi ke salah satu sudut dihadapannya.
  3. Gunakan garis tersebut sebagai jari-jari untuk mengambar sebuah busur yang menentukan tinggi dari persegi panjang (golden rectangle)
  4. Sempurnakan gambar golden rectangle




Golden Spiral
Dalam Geometri, Golden Spiral adalah spiral logaritmik yang faktor pertumbuhannya (growth factor) b adalah phi atau golden ratio. Secara khusus, sebuah golden spiral semakin melebar atau menjauh dari titik awalnya dengan faktor phi untuk tiap seperempat lingkaran yang dibuat.
Successive points dividing a golden rectangle into squares lie on
a logarithmic spiral which is sometimes known as the golden spiral.



Golden Ratio Dalam Arsitektur dan Seni
Banyak dari para arsitek dan seniman menerapkan golden ratio pada karya-karya mereka, khususnya pada golden rectangle, karena dipercaya bahwa golden rectangle ini secara estetis menyenangkan dan mengagumkan

Contoh:
Parthenon, Acropolis, Athens.
Kuil Kuno ini dibangun berdasarkan perhitungan Golden Rectangle
The Vetruvian Man"(The Man in Action)" oleh Leonardo Da Vinci
Kita dapat menggambar banyak garis dari persegi panjang pada gambar ini.
Kemudian, akan kita dapatkan tiga jenis Golden Rectangles:
  area kepala, torso, dan area kaki.




Golden Ratio di Alam
Adolf Zeising, seorang matematikawan dan filsuf pada tahun 1854 menuliskan:
The Golden Ratio is a universal law in which is contained the ground-principle of all formative striving for beauty and completeness in the realms of both nature and art, and which permeates, as a paramount spiritual ideal, all structures, forms and proportions, whether cosmic or individual, organic or inorganic, acoustic or optical; which finds its fullest realization, however, in the human form.
Contoh
Klik gambar untuk melihat animasi golden ratio
Jari-jemari kita memiliki tiga ruas. Perbandingan ukuran panjang dari dua ruas pertama terhadap ukuran panjang keseluruhan jari tersebut menghasilkan angka rasio emas (kecuali ibu jari). Anda juga dapat melihat bahwa perbandingan ukuran panjang jari tengah terhadap jari kelingking merupakan rasio emas pula.

 
Rancangan tanpa cela pada cangkang nautilus memiliki bentuk yang mengikuti rumus rasio emas


Saat meneliti cangkang makhluk hidup yang digolongkan sebagai hewan bertubuh lunak atau moluska, yang hidup di dasar laut, bentuk dan struktur permukaan bagian dalam dan luar dari cangkangnya menarik perhatian para ilmuwan:

Permukaan bagian dalamnya halus licin, sedangkan di bagian luarnya bergalur. Tubuh moluska berada di dalam cangkang, oleh karena itu permukaan bagian dalamnya haruslah halus licin. Garis pinggiran luar dari cangkang menambah kekokohan cangkang, sehingga meningkatkan kekuatannya. Bentuk-bentuk cangkang membuat orang kagum karena kesempurnaan dan sifat menguntungkan yang dihasilkan proses penciptaannya. Gagasan spiral pada cangkang terwujudkan dalam bentuk geometris sempurna, dalam bentuk rancangan yang sungguh elok dan "tajam".

Cangkang-cangkang kebanyakan moluska tumbuh mengikuti bentuk spiral logaritmik. Sungguh tidak ada keraguan bahwa hewan-hewan ini tidak memahami perhitungan matematis paling sederhana sekalipun, apalagi bentuk spiral logaritmik. Jadi bagaimana makhluk-makhluk tersebut dapat mengetahui hal itu sebagai yang terbaik baginya untuk tumbuh? Bagaimana binatang-binatang ini, yang oleh sejumlah ilmuwan digambarkan sebagai makhluk "primitif," tahu bahwa spiral logaritmik adalah bentuk terbaik bagi mereka? Mustahil pertumbuhan semacam ini terjadi tanpa adanya suatu pengetahuan atau kecerdasan. Pengetahuan tersebut ada tapi bukan pada moluska ataupun di alam itu sendiri, meskipun sejumlah ilmuwan menyatakan hal demikian. Sama sekali tidaklah masuk akal untuk berusaha menjelaskan hal tersebut sebagai suatu ketidaksengajaan. Rancangan ini hanya dapat dihasilkan oleh suatu kecerdasan dan pengetahuan mahatinggi, yang merupakan milik Allah Yang Mahakuasa, Pencipta segala sesuatu:

"Pengetahuan Tuhanku meliputi segala sesuatu. Maka apakah kamu tidak dapat mengambil pelajaran (daripadanya) ?" (QS. Al An'aam, 6: 80)

Pertumbuhan mengikuti pola semacam ini digambarkan sebagai "gnomic growth" (pertumbuhan gnomis) oleh ilmuwan biologi Sir D'Arcy Thompson, seorang pakar dalam bidang tersebut, yang menyatakan bahwa mustahil membayangkan adanya sistem lain yang lebih sederhana, selama pertumbuhan cangkang kerang laut, daripada sistem yang didasarkan pada pelebaran dan pemanjangan yang terbentuk mengikuti perbandingan yang sama dan tidak berubah. Ia menjelaskan, cangkang tersebut terus-menerus tumbuh, akan tetapi bentuknya tetap sama.

Seseorang dapat menyaksikan salah satu contoh paling bagus dari pertumbuhan semacam ini pada seekor nautilus, yang garis tengahnya hanya beberapa sentimeter. C. Morrison menjelaskan proses pertumbuhan ini, yang sangat sulit untuk dirancang sekalipun dibantu dengan kecerdasan manusia, dengan menyatakan bahwa di sepanjang cangkang nautilus, spiral yang ada di bagian dalam memanjang dan tersusun atas sejumlah bilik yang disekat oleh dinding-dinding yang terbuat dari karang mutiara. Ketika hewan ini tumbuh, ia membentuk satu bilik lagi di mulut cangkang spiral yang berukuran lebih besar daripada bilik sebelumnya, dan bergerak maju memasuki tempat yang lebih besar ini dengan menutup pintu di belakangnya menggunakan selembar sekat karang mutiara.

Nama ilmiah dari sejumlah hewan laut lain yang memiliki spiral logaritmik dengan rasio pertumbuhan yang berbeda-beda pada cangkang mereka adalah:

Haliotis parvus, Dolium perdix, Murex, Fusus antiquus, Scalari pretiosa, Solarium trochleare.

Ammonite, binatang laut punah yang kini ditemukan hanya dalam bentuk fosil, juga memiliki cangkang yang tumbuh mengikuti bentuk spiral logaritmik. 
Ammonite




 Golden Ratio Point adalah Mekkah?
 Benarkah kota Mekkah dan Ka'bah adalah golden point nya bumi? seperti yang diceritakan video dibawah ini, jarak antara Mekkah dan kutub selatan dibagi dengan jarak mekkah dan kutub utara, maka akan menghasilkan Golden Ratio yaitu 1,618 ... dan tidak hanya itu saja, jika peta bumi kita datarkan, maka jarak mekah ke sisi-sisi samping peta dan jarak mekah ke kedua sudut yang berhadapan, juga merupakan golden ratio seperti pada gambar di bawah.







Dan ini videonya
video




Wallahualam

Popular Posts