Paradoks Zeno - Ketakhinggaan dalam Keberhinggaan

Paradoks Zeno yang paling terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematika adalah paradoks Achilles dan Kura-kura. Terkenal karena orang Yunani gagal menjelaskan paradoks ini. Walau sekarang terkesan tidak terlalu sulit, tapi butuh waktu ribuan tahun sebelum matematikawan dapat menjelaskannya. Paradoks Achilles dan kura-kura kira-kira seperti ini :

Pelari tercepat (A) tidak akan bisa mendahului pelari yang lebih lambat (B). Hal ini terjadi karena A harus berada pada titik B mula-mula, sementara B sudah meninggalkan (berada di depan) titik tersebut. 

Zeno menganalogikan paradoks ini dengan membayangkan lomba lari Achilles dan seekor kura-kura. Keduanya dianggap lari dengan kecepatan konstan dan kura-kura sudah tentu jauh lebih lambat. Untuk itu, si kura-kura diberi keuntungan dengan start awal di depan, katakanlah 10 meter. Ketika lomba sudah dimulai, Achilles akan mencapai titik 10 m (titik di mana kura-kura mula-mula). Tetapi si kura ini juga pasti sudah melangkah maju, jauh lebih lambat memang, katakanlah dia baru melangkah 1 meter. Beberapa saat kemudian Achilles berada di titik 11m, tapi si kura lagi-lagi udah melangkah maju 0,1 m. Demikian seterusnya, setiap kali Achilles berada pada titik di mana kura-kura tadinya berada, si kura-kura sudah melangkah lebih maju. Artinya, Achilles, secepat apa pun dia berlari tidak akan bisa mendahului kura-kura (selambat apa pun dia melangkah).


Secara konteks percakapan, kira-kira begini:

kura2: "Jika aku mulai beberapa meter di depanmu, pasti aku menang, Achilles."

Achilles: "Hahaha... Dasar kura-kura. Kamu ingin berapa meter di depanku?"

kura2: "10 meter"

Achilles: "Baiklah, aku dapat mencapai 10 meter dalam satu detik"

kura2: "Tapi dalam satu detik itu aku sudah maju lagi kan?"

Achilles: "Ya, paling hanya 1 meter krn kecepatanmu 1m per detik. sedangkan Aku dapat maju 1 meter dengan 0,1 detik"

kura2: "Tapi dlm 0,1 detik itu aku sudah maju lagi kan?"

Achilles: "Hm.. Ya" (Achilles mulai ragu)

kura2: "Ini akan terjadi terus menerus, sehingga aku terus berada di depanmu."

Achilles: "Baiklah, kau menang kura-kura. Aku menyerah."

Achilles yang malang ... Dia terjebak dalam logika ketakhinggaan kura-kura ...

_____________________________________________________________________________________________________

Secara Fisika Klasik masalah ini dengan mudah dapat dipecahkan seperti dibawah ini:

Secara Matematika paradoks ini juga dapat diselesaikan dengan mudah ..

Achilles mencapai posisi awal kura-kura dalam 1 detik. Kemudian Achilles mencapai posisi kedua kura-kura dalam 0,1 detik. Demikian pula Achilles mencapai posisi ketiga kura-kura dalam 0,01 detik dan seterusnya ...

Waktu-waktu yang diperlukan Achilles untuk menyusul kura-kura akan membentuk Deret Geometri tak berhingga: 

  1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ....

dengan ratio (perbandingan antara dua suku yang berurutan)  r = 0,1

Dan jumlah suku-suku yang banyaknya tak hingga pada deret tersebut adalah BERHINGGA, karena deret diatas adalah deret yang konvergen, bisa dicari dengan: 
 

a = suku pertama

r = adalah rasio

Sehingga jumlah total deret tersebut adalah 1/(1 - 0,1) atau 10/9

Jadi Kura-kura akan tersusul oleh Achilles hanya dalam waktu 10/9 detik.

Pandangan Fisika Quantum
Paradoks Zeno didasarkan pada gagasan bahwa ruang-waktu dapat dibagi menjadi potongan-potongan kecil dan lebih kecil dan lebih kecil lagi sampai tak terbatas. Disinilah Fallacy nya. Dalam Fisika Quantum panjang terkecil yang diperbolehkan adalah Panjang Planck (sekitar 1.6 × 10^-35 meter) adalah panjang atau jarak terkecil yang diperbolehkan, lebih kecil dari itu dan hukum-hukum fisika alam semesta kita tidak berlaku..

Dalam kasus Achilles dan kura-kura, jika kecepatan Achilles lebih besar daripada kura-kura, maka Achilles akan menempuh Panjang Planck lebih banyak dalam waktu yang lebih singkat dari kura-kura dan akhirnya akan menyusul dan melampaui kura-kura tersebut.

Dan dibawah ini komik kartun yang menggambarkan paradoks Zeno

Kapankahkah Jenghis Khan menangkap Zeno? kalau jarak dia dan zeno selalu berkurang setengah dari jarak sebelumnya?

Source: dari berbagai sumber